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\let\oldsum\sum
\renewcommand{\sum}{\displaystyle\oldsum}
\let\oldbigcup\bigcup
\renewcommand{\bigcup}{\displaystyle\oldbigcup}
\let\oldbigcap\bigcap
\renewcommand{\bigcap}{\displaystyle\oldbigcap}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document}

\title{Lista 02 - Exercícios Caderno - Introdução à Análise UnB 2012/01}
\author{Marcelo Vale Asari}

\maketitle


\section{(27/03/2012): Teorema 1} \label{lista2:20120327:teo1}
	$f: X \subset \R^n \rightarrow \R^m$ é uniformemente contínua $\iff$ $|f(x_k)-f(y_k)| \rightarrow 0$ 
	para todo $(x_k), (y_k) \subset X$ com $|x_k - y_k| \rightarrow 0$.

	

\section{(27/03/2012): Exercício 1} \label{lista2:20120327:ex1}
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = \sqrt{x}$, $x\in [0,1]$ é uniformemente contínua, mas $f \in Lip([0,1])$
		\item Mostre que $f: [0,1]^2 \setminus \{1,1\} \rightarrow \R$ definidida. $f(x,y) = \frac{1}{1-xy}$ 
		é contínua, mas não é uniformemente contínua.
	\end{enumerate}

	
	
\section{(27/03/2012): Exercício 2} \label{lista2:20120327:ex2}
	Considere $\emptyset \ne F,G \subset \R^n$ - fechados, disjuntos e $f(\R^n, \R)$ definida por 
	$f(x) = \frac{d(x,F)}{d(x,F)+d(x,G)}$ (função de Urysohn do par F e G).
	
	\begin{enumerate}
		\item mostre que f é contínua, $f/F = 0$, $f/G = 1$, $0 \le f(x) \le 1$, $\forall x \in \R^n$.
		\item em que condições, sobre $f$ e $G$, $f$ é uniformemente contínua?
		\item Se $f$ for uniformemente contínua, o que deve ocorrer com $F$ e $G$?
	\end{enumerate}
	
	
	
\section{(27/03/2012): Exercício 3} \label{lista2:20120327:ex3}
	Conclua do `\nameref{lista2:27/03/2012:ex1}' que dados quaisquer $\emptyset \ne F,G \subset \R^n$ 
	fechados e disjuntos, existem $A,B \subset \R^n$ abertos e disjuntos com $F \subset A$ e $G \subset B$.



\section{(27/03/2012): Exercício 4} \label{lista2:20120327:ex4}
	\begin{itemize}
		\item $f:X \times [a,b] \rightarrow \R$, $ X \subset \R^n $
		\item $\varphi(x) = \int_a^b f(x,t) dt$
	\end{itemize}
	Mostre que $\varphi$ é contínua.
	
	
	
\section{(27/03/2012): Teorema 3} \label{lista2:20120327:teo3}
	$f:K \subset \R^n \xrightarrow[\text{injetiva}]{\text{contínua}} f(K) \subset \R^m$, $K$ compacto
	$\Rightarrow$  $f$ é homeomorfismo.
	
	
	
\section{(27/03/2012): Exercício 5} \label{lista2:20120327:ex5}
	Mostre que se:
	\begin{enumerate}
		\item $X \subset \R^n$, $Y \subset \R^p$ limitados, \\
			  $\varphi: X \times Y \xrightarrow{bilinear} \R^m$,\\
			  então $\varphi|_{X+Y}$ é uniformemente contínua (u.c.).
			  
		\item $f: X \in \R^n \xrightarrow{\text{u.c.}} Y \subset \R^p$,\\
			  $g: Y \in \R^p \xrightarrow{\text{u.c.}} Y \subset \R^m$,\\
			  $f(x) \subset Y \Rightarrow g \circ f$ é uniformemente contínua.
			  
		\item $f: X \subset \R^n \rightarrow \R^m$, $f = (f_1 \dots f_m)$,\\
			  $f$ é u.c. $\iff$ cada $f_i$ for u.c.
	\end{enumerate}
	
	
	
\section{(29/03/2012): Exercício 1} \label{lista2:20120329:ex1}
	\begin{enumerate}
		\item $(A,B)$ é uma cisão de $X \Rightarrow A = \overline{A} \cap X$ e 
			  $B = \overline{B} \cap X$ (i.e., $A$ e $B$ são fechados em $X$) 
			  $\Rightarrow$ $A$ e $B$ são abertos em $X$ e $A \cap B = \emptyset$.
			  
		\item $A \subset X$ aberto e fechado em $X \Rightarrow (A, X \setminus A)$ é uma cisão de $X$.
		
		\item $X$ é conexo $\iff$ os únicos subconjuntos de $X$ que são abertos e fechados em $X$ são $X$ e $\emptyset$.
	\end{enumerate}


	
\section{(29/03/2012): Teorema 1}	\label{lista2:20120329:teo1}
	\begin{enumerate}
		\item $f: X \subset \R^n \xrightarrow{\text{contínua}} \R^m$, $X$ conexo $\Rightarrow$ $f(x) \subset \R^m$ é conexo.
		
		\item \label{lista_2_29-03:teo1_b} $X = \bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda}$ ($L$-família de índices). $X_\lambda$ é conexo
			  e $\exists a \in \bigcap_{\lambda \in L} \Rightarrow X$ é conexo.
		
		\item $X \subset \R^n$, $Y \subseteq \R^m \Rightarrow X \times Y \subset \R^n \times \R^m := \R^{n+m}$  é conexo
			  $\iff$ $X$ e $Y$ forem conexos.

		\item \label{lista_2_29-03:teo1_d} $X \subset \R^n$, $X$ conexo, e $X \subset Y \subset \overline{X} \Rightarrow Y$ é 
		conexo (em particular, se $X$ é conexo, $\overline{X}$ é conexo)

	\end{enumerate}

	Prove (\ref{lista_2_29-03:teo1_b}) e (\ref{lista_2_29-03:teo1_d}).

	
	
\section{(29/03/2012): Exercício 2} \label{lista2:20120329:ex2}
	$I \subset \R$ é conexo $\iff$ $I$ for um intervalo.

	
	
\section{(29/03/2012): Teorema 3 (Teorema de Valor Intermediário)} \label{lista2:20120329:teo3}
	$f:X \subset \R^m \xrightarrow{\text{contínua}} \R$, $X$ conexo.
	
	Se $f(a < f(b))$, $a,b \in X$ $\Rightarrow$ para cada $d \in (f(a),f(b))$ existe $c \in X$ tal que $f(c) = d$.



\section{(29/03/2012): Exercício 3} \label{lista2:20120329:ex3}
	$f: X \subset\R^n \xrightarrow{\text{contínua}} Y\subset \R^m$, $X$ conexo. 
	Mostre que $Gr(f) = \{(x,f(x)) \in X+Y \}$ é conexo.
	

	
\section{(29/03/2012): Teorema 4(Teorema da Alfândega)} \label{lista2:20120329:teo4}
	$X \subset \R^n$ conjunto, $C \subset \R^n$ conjunto conexo com $C \cap X \ne \emptyset$, $C \cap X^c \ne \emptyset$
	$\Rightarrow C \cap \partial X \ne \emptyset$. ($\partial X$ = fronteira de $X$)



\section{(10/04/2012): Exercício 1} \label{lista2:20120410:01:ex1}
	Seja $\emptyset \ne X \subset \R$. Mostre:
	\begin{enumerate}
		\item $C_x \subset X$ é conexo
		\item $C \subset X$, $C$ conexo, $x \in X$ e $C \cap C_x \ne \emptyset \Rightarrow C \subset C_x $
		\item $x,y \in X, x \ne y \Rightarrow C_x \cap C_y = \emptyset$ ou $C_x = C_y$
		\item $C_x \subset X$ fechado em $X$ e $X = \dot{\bigcup_{x\in X}} C_x$
	\end{enumerate}



\section{(10/04/2012): Teorema 1} \label{lista2:20120410:02:teo1}
	$h: X \subset \R^n \xrightarrow{\text{homeo}} Y \subset \R^m$ e $x_0 \in X$
	e $y_0 = h(x_0) \Rightarrow C_{y_0} = h(C_{x_0})$



\section{(10/04/2012): Corolário 1} \label{lista2:20120410:03:col1}
	$X \overset{\text{homeo}}{\simeq} Y \Rightarrow \overset{\#}{_{_{x\in X}}} C_x = \overset{\#}{_{_{y\in Y}}} C_Y$ 



\section{(10/04/2012): Exercício 2} \label{lista2:20120410:04:ex2}
	Mostre que $X = \{(0,y) | -1 \le y \le 1 \} \cup \{(x,y) | x > 0 \text{ e } y=sen(\frac{1}{x})\}$
	não é conexo por caminhos. \\
	(obs.: $X$ é conexo)



\section{(10/04/2012): Exercício 3} \label{lista2:20120410:05:ex3}
	$X \subset \R^n$ conexo por caminhos $\Rightarrow X$ é conexo.



\section{(10/04/2012): Exercício 4} \label{lista2:20120410:06:ex4}
	\begin{enumerate}
		\item $f: X \subset \R^n \xrightarrow{\text{contínua}} Y \subset \R^m$, $X$
	 conexo por caminhos $\Rightarrow f(X)$ é conexo por caminhos 
		\item $X = \bigcup_{\lambda \in L}{X_\lambda}$, $X_\lambda$ conexo por caminhos
	 e $\bigcap_{\lambda \in L}{X_\lambda} \ne \emptyset \Rightarrow X$ é conexo por caminhos
		\item $M_1 \times \dots \times M_n$ é conexo por caminhos $\iff$ $M_j$ o é também.
	\end{enumerate}



\section{(12/04/2012): Teorema 1} \label{lista2:20120412:01:teo1}
	$f: X \subset \R^n \to \R^m, a \in X'$ e $f=(f_1,\dots,f_m)$
	$\Rightarrow \lim_{x\to a}{f(x)} = b = (b_1,\dots,b_m) \iff \lim_{y \to a}{f_i(x) = b_i}, i=1,\dots,m$



\section{(12/04/2012): Teorema 2} \label{lista2:20120412:02:teo2}
	$\lim_{x\rightarrow a}{f(x)} = b \iff \lim_{k \to \infty}{f(x_k) = b}$ 
	para todo $(x_k) \subset X\setminus\{a\}$ com $x_k \to a$



\section{(12/04/2012): Exercício 1} \label{lista2:20120412:03:ex1}
	\begin{equation}
		\lim_{x\to x_0}(\lim_{y\to y_0}{f(x,y)}) := \lim_{x\to x_0} \lim_{y\to y_0} f(x,y)
		\label{(I)}
	\end{equation}
	
	\begin{equation}
		\lim_{y\to y_0}(\lim_{x\to x_0}{f(x,y)}) := \lim_{y\to y_0} \lim_{x\to x_0} f(x,y)
		\label{(II)}
	\end{equation}
	Se $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}{f(x,y)} = A$ e (\ref{(I)}) e (\ref{(II)}) existirem, 
	então $A = (\ref{(I)}) = (\ref{(II)})$




\section{(12/04/2012): Teorema 4} \label{lista2:20120412:04:teo4}
	Suponha $\lim_{x\to a}{f(x)} = b$, $\lim_{x\to a}{g(x)} = c$ e $\lim_{x\to a}{\alpha (x)} = d$\\
	Então:
	\begin{enumerate}
		\item $\lim_{x\to a}{(f \pm g)(x)} \overset{x\to a}{=} b \pm c$
		\item $\lim_{x\to a} \langle f(x),g(x)\rangle = \langle b, c \rangle$
		\item $\lim_{x\to a}{\alpha(X)f(x)} = d.b$
	\end{enumerate}
	
	Em particular, se $d=0$ e $f$ limitada, então $lim_{x\to a}{\alpha(x)f(x)} = 0$



\section{(12/04/2012): Teorema 5} \label{lista2:20120412:05:teo5}
	Se $\lim_{x\to a}{f(x)} = b \in (0,\infty)$, então existe um $\delta > 0$ tal que 
	$f(x) >0$, $x \in V_{\delta} := B_\delta(a)\cap(X\setminus\{a\})$




\section{(12/04/2012): Exercício 2} \label{lista2:20120412:06:ex2}
	$f:(a,b) \to \R$ monótona e limitada. Mostre que $\exists \lim_{x\to a}{f(x)}$ e $\exists \lim_{x\to b}{f(x)}$.



\section{(12/04/2012): Teorema 6} \label{lista2:20120412:07:teo6}
	Considere
	\begin{itemize}
		\item $f: X \subset \R^n \xrightarrow{\text{contínua}} \R^m$ tal que $\exists \lim_{y\to x}{f(y)}$
		\item $F: \overline{X} \to \R^m$		
			\[
			 F(x) = \begin{cases}
					f(x)                & , x\in X \\
					\lim_{y\to x}{f(y)} & , x\in \overline{X}\setminus X
					\end{cases}
			\]
	\end{itemize}
	Então $F$ é contínua (em $\overline{X}$) e $F|_x = f$



\section{(12/04/2012): Teorema 7} \label{lista2:20120412:08:teo7}
	$f: X \subset \R^n \to \R^m$ uniformemente contínua $\Rightarrow \exists \lim_{y\to x}{f(x)}$ 
	para todo $x \in \overline{X}$



\section{(12/04/2012): Teorema 8} \label{lista2:20120412:09:teo8}
	$f: X \subset \R^n \to \R^m \Rightarrow f$ possui uma única extensão 
	uniformemente contínua ao $\overline{X} \iff f$ é uniformemente contínua.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	
\section{Divisão}

\subsection{Exercícios caderno}

\begin{center}
  \begin{tabular}{ | c | c | }
	\hline
	Grupo 1:& \ref{lista2:20120327:ex1}    ;
	         \ref{lista2:20120329:ex1}    ;
	         \ref{lista2:20120410:01:ex1} ;
	         \ref{lista2:20120412:01:teo1};
	         \ref{lista2:20120412:07:teo6} \\ \hline
	         
	Grupo 2:& \ref{lista2:20120327:ex2}    ;
	         \ref{lista2:20120329:teo1}   ;
	         \ref{lista2:20120410:02:teo1};
	         \ref{lista2:20120412:02:teo2};
	         \ref{lista2:20120412:08:teo7} \\ \hline
	         
	Grupo 3:& \ref{lista2:20120327:ex3}      ;
	         \ref{lista2:20120329:ex2}      ;
	         \ref{lista2:20120410:03:col1}  ;
	         \ref{lista2:20120412:03:ex1}   ;
	         \ref{lista2:20120412:09:teo8} \\ \hline
	         
	Grupo 4:& \ref{lista2:20120327:ex4}  ;
	         \ref{lista2:20120329:teo3}  ;
	         \ref{lista2:20120410:04:ex2};
	         \ref{lista2:20120412:04:teo4} \\ \hline
	        
	Grupo 5:& \ref{lista2:20120327:teo3} ;
	        \ref{lista2:20120329:ex3}   ;
	        \ref{lista2:20120410:05:ex3};
	        \ref{lista2:20120412:05:teo5} \\ \hline
	         
	Grupo 6:& \ref{lista2:20120327:ex5}  ;
	         \ref{lista2:20120327:teo1}  ;
	         \ref{lista2:20120329:teo4}  ;
	         \ref{lista2:20120410:06:ex4};
	         \ref{lista2:20120412:06:ex2} \\ \hline

\end{tabular}
\end{center}

%~ Grupo 6: \ref{lista2:20120327:teo1}
%~ Grupo 1: \ref{lista2:20120327:ex1}
%~ Grupo 2: \ref{lista2:20120327:ex2}
%~ Grupo 3: \ref{lista2:20120327:ex3}
%~ Grupo 4: \ref{lista2:20120327:ex4}
%~ Grupo 5: \ref{lista2:20120327:teo3}
%~ Grupo 6: \ref{lista2:20120327:ex5}
%~ Grupo 1: \ref{lista2:20120329:ex1}
%~ Grupo 2: \ref{lista2:20120329:teo1}
%~ Grupo 3: \ref{lista2:20120329:ex2}
%~ Grupo 4: \ref{lista2:20120329:teo3}
%~ Grupo 5: \ref{lista2:20120329:ex3}
%~ Grupo 6: \ref{lista2:20120329:teo4}
%~ Grupo 1: \ref{lista2:20120410:01:ex1}
%~ Grupo 2: \ref{lista2:20120410:02:teo1}
%~ Grupo 3: \ref{lista2:20120410:03:col1}
%~ Grupo 4: \ref{lista2:20120410:04:ex2}
%~ Grupo 5: \ref{lista2:20120410:05:ex3}
%~ Grupo 6: \ref{lista2:20120410:06:ex4}
%~ Grupo 1: \ref{lista2:20120412:01:teo1}
%~ Grupo 2: \ref{lista2:20120412:02:teo2}
%~ Grupo 3: \ref{lista2:20120412:03:ex1}
%~ Grupo 4: \ref{lista2:20120412:04:teo4}
%~ Grupo 5: \ref{lista2:20120412:05:teo5}
%~ Grupo 6: \ref{lista2:20120412:06:ex2}
%~ Grupo 1: \ref{lista2:20120412:07:teo6}
%~ Grupo 2: \ref{lista2:20120412:08:teo7}
%~ Grupo 3: \ref{lista2:20120412:09:teo8}


\subsection{Livro - Análise Real volume 2}
\begin{center}
  \begin{tabular}{ | c | c | }
	\hline
	Grupo 1:& 08.2;
			 09.2;
			 10.3;
			 11.4 \\ \hline
    
    Grupo 2:& 07.1;
			 08.3;
			 09.3;
			 10.4;
			 11.5 \\ \hline
    
    Grupo 3:& 07.2;
			 08.4;
			 09.4;
			 10.5\\ \hline
    
    Grupo 4:& 07.3;
			 08.5;
			 09.5;
			 11.1 \\ \hline
    
    Grupo 5:& 07.4;
			 08.6;
			 10.1;
			 11.2 \\ \hline
    
    Grupo 6:& 08.1;
             09.1;
             10.2;
             11.3\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	%~ Grupo 2: 07.1 \\
	%~ Grupo 3: 07.2 \\
	%~ Grupo 4: 07.3 \\
	%~ Grupo 5: 07.4 \\
	%~ Grupo 6: 08.1 \\
	%~ Grupo 1: 08.2 \\
	%~ Grupo 2: 08.3 \\
	%~ Grupo 3: 08.4 \\
	%~ Grupo 4: 08.5 \\
	%~ Grupo 5: 08.6 \\
	%~ Grupo 6: 09.1 \\
	%~ Grupo 1: 09.2 \\
	%~ Grupo 2: 09.3 \\
	%~ Grupo 3: 09.4 \\
	%~ Grupo 4: 09.5 \\
	%~ Grupo 5: 10.1\\
	%~ Grupo 6: 10.2\\
	%~ Grupo 1: 10.3\\
	%~ Grupo 2: 10.4\\
	%~ Grupo 3: 10.5\\
	%~ Grupo 4: 11.1\\
	%~ Grupo 5: 11.2\\
	%~ Grupo 6: 11.3\\
	%~ Grupo 1: 11.4\\
	%~ Grupo 2: 11.5\\
	         
	         
\subsection{Livro - curso de análise volume 2}             

\begin{itemize}
\item Exercícios da aula do dia 10/04/2012.

GRUPO 01: 12.4; 13.2; 14.2; 14.13.

GRUPO 02: 12.5; 13.3; 14.3; 14.14.

GRUPO 03: 12.6; 13.4; 14.9; 14.15.

GRUPO 04: 12.1; 12.7; 13.5; 14.10.

GRUPO 05: 12.2; 12.8; 13.6; 14.11.

GRUPO 06: 12.3; 13.1; 14.1; 14.12.\\

\item Exercícios da aula do dia 12/04/2012.
Lembrando que os exercícios dessa aula (12/04) devem ser entregues na quinta (19/04). 
Não entram na aula de exercício de terça (17/04).

Grupo 01:\\
Exercícios do Análise Real Vol.2: 11.5.\\
Exercícios do livro Curso de Análise Vol.2: 9.4.\\
Exercícios do caderno: Teorema 1, Exercício 2 (aula 12/04)


Grupo 02:\\
Exercícios do Análise Real Vol.2: não tem.\\
Exercícios do livro Curso de Análise Vol.2: 9.5.\\
Exercícios do caderno: Teorema 2, Teorema 6 (aula 12/04)

Grupo 03:\\
Exercícios do Análise Real Vol.2: 11.1.\\
Exercícios do livro Curso de Análise Vol.2: 9.6.\\
Exercícios do caderno: Exercício 1, Teorema 7 (aula 12/04)

Grupo 04:\\
Exercícios do Análise Real Vol.2: 11.2.\\
Exercícios do livro Curso de Análise Vol.2: 9.1; 9.7.\\
Exercícios do caderno: Teorema 4, Teorema 8 (aula 12/04)

Grupo 05:\\
Exercícios do Análise Real Vol.2: 11.3.\\
Exercícios do livro Curso de Análise Vol.2: 9.2.\\
Exercícios do caderno: Teorema 5 (aula 12/04)

Grupo 06:\\
Exercícios do Análise Real Vol.2: 11.4.\\
Exercícios do livro Curso de Análise Vol.2: 9.3.\\
Exercícios do caderno: Corolário do teorema 5 (aula 12/04)
      \end{itemize}   
         
\end{document}
